数​一​数​ 7-⁠bag：​同​一​种​方块​会​隔多​远​再​来

7-⁠bag ​的​机制​很​简单，​只是​“把​ 7​ ​种​方块​放进袋子​里，​再​一​个​一​个​取​出来”。​但​数​一​数​就​会​发现，​游戏​中​那​种​“I ​怎么​还​不​来”​“老​是​来 ​S ​和​ Z”​的​感觉，​其实​有​明确​的​上限​和​概率。​这​篇​专栏​把​教程​里​没有​提到​的​ 7​-bag ​数字，​在​用​计算器​就​能​验证​的​范围​内列​出来。

袋​中​的​顺序​有​ 5040​ ​种

7​ ​个​方块​的​排列​顺序共​有​ 7​×6×5×4×3×2×1​＝5040​ 种，​每​一​种​顺序​出现​的​概率​都​相同。​“第 ​1​ ​个​是​ ​I ​的​概率”​是​ 7​ 分之 1，​“第 ​1​ ​个​是​ S、​Z、​O ​之一​的​概率”​是​ 7​ 分之 3​（约​ 43%）。​开局​定式​里​经常​要​分​“第 ​1​ 手​是​ S、​Z、​O ​时​换​另​一​种​形状”​这样​的​情况，​正​是​因为​这个​频率​高得​不​能​忽视。

同​一​种​方块​连续​来​ 2​ 次​的​概率​是​ 49​ 分之 1

1​ ​个​袋里​同​一​种​方块​只​有​ 1​ ​个，​所以​同​一​种​方块​连续​出现，​只会​发生​在​袋​的​交界​处。​上​一袋​的​最后​一​个​和​下​一​袋​的​第一​个​是​同​一​种​方块​的​概率​是​ 7​ 分之 1。

交界​处​每​ ​7​ ​个​方块​才​出现​ ​1​ 次，​所以​在​随便​某​个​时刻，​“下​一​个​还是​同​一​种​方块”​的​概率​是​ 7​ 分之 1×7​ 分之 1＝49​ 分之 1，​约​ ​2%。​如果​是​完全​随机，​这​件​事​发生​的​概率​是​ 7​ 分之 1​（约​ 14%），​可见​在​ 7​-bag ​中​“连续”​是​相当​少见​的​事。​而且，​同​一​种​方块​绝​对​不​会​连续​来​ 3​ 次。

同​一​种​方块​会​隔多​远​再​来

数​一​数​某​种​方块​出现​之后，​到​下​一​次​同​一​种​方块​出现​为止​要​经过​几​个。​紧接​着​就​来​是​“1 ​个​之后”，​最远​是​“13​ ​个​之后”。​它​在​上​一​袋​中​的​位置​和​在下​一​袋​中​的​位置​各​有​ 7​ ​种​可能，​概率​都​相同，​把​这​ ​49​ ​种​情况​全部​数​一遍，​就​得到​下面​的​表。

概率​呈​一​座​以​ 7​ ​个​之后​为​顶点​的​山形。​每​偏​离​ 1​ 个，​概率​就​减少​ 49​ 分之 1，​平均值​正好​是​ 7​ ​个​之后。​在​“I ​平均​每​ ​7​ ​个​来​ ​1​ ​个”​这个​理所​当然​的​事实​背​后，​实际​的​间隔​在​ 1​ ​个​到​ 1​3​ 个​之间​波动。

为了​四消​而​留出竖井​等​ I ​的​时候，​最坏​情况​下​中间​会​夹 ​12 ​个​方块。​这​ ​12 ​个​方块，​也​就​是​ 48​ 格，​能​不​能​不​留​空洞​地​堆​进竖​井​以​外​的​ 9 列​里？​要​不要​等​ I，​就​看​现在​的​高度​能​不​能​承受​这个​最坏​情况。

和​完全​随机​比​一​比

如果​每​次​都​以​ 7​ 分之 ​1 ​的​概率​独立​地​选​出​方块，​会​怎么样​呢？

在​完全​随机​的​情况​下，​大约​每​ ​7​ 次​就​有​ 1​ ​次​“等​了​ 1​3​ 个，​I ​还是​不​来”。​这样​一来，​留出​竖井​等​ I ​的​战术​就​行​不​通​了。​可以​说，​7-​bag ​给​运气​的​波动​加上​了​上限，​才​让​这个​游戏​变​得​值得​去​制定​计划。

S ​和​ Z ​最​多​连续​ 4 ​个

平整堆叠时​最​麻烦​的，​是​ S ​和​ Z​ 接连​出现。​在​ 7​-bag ​中，​这​也​有​上限。​1 ​个​袋里 S ​和​ Z​ 各​只​有​ 1​ ​个，​所以​最多​只​能​连续​ 4​ 个，​也​就​是​“上​一​袋​的​最后​ 2​ ​个​是​ S ​和​ Z”，​并且​“下​一​袋​的​最初​ 2 ​个​也​是​ S ​和​ Z”​的​时候。

一袋​的​最后​ 2​ ​个​是​ S ​和​ Z ​的​概率​是​ 21​ 分之 1，​下​一​袋​的​最初​ 2 ​个​是​ S ​和​ Z ​的​概率​也​是​ 21​ 分之 1，​所以​这​种​最坏​排列​在​某​一​个​交界​处​出现​的​概率​是​ 4​41​ 分之 1。​它​很​少​发生，​但​知道​了​可能​出现​的​最坏​情况，​就​有​了​一​个​参考​标准：​“只要​留出​能​放 ​2 ​个​ S、​Z ​的​位置，​就​基本​不​会​为​难”。

开局​的​ 10 ​个​约​有​ 106 万​种

开局​全​消由​最初​的​ 10 ​个​方块​决定。​第 ​1​ 袋​的​ 7​ ​个​有​ 5040​ ​种，​第 ​2​ 袋​的​最初​ 3​ ​个​有​ 7​×6×5＝​210​ 种，​合​起来​是​ 5040×​210＝​1,058,​400​ 种。

看​起来​很多，​但​对​计算机来​说​是​可以​全部​查​一遍​的​数量。​本站​教程​里写​的​“把​所有​顺序​都​查​一遍，​约​为​ 8​5%”​这​类​数字，​就​是​这样​逐​一​数​出来​的​结果。​7-​bag ​的​“容易​预判”，​不​只​是​对人​而言，​对​计算​也​是​一样。

总结

• 同​一​种​方块​只会​在​袋​的​交界​处​连续​出现，​概率​约​ ​2%。​不​会​连续​来​ 3​ 次。
• 同​一​种​方块​的​间隔​是​ 1​～13​ ​个，​平均​ 7​ 个。​等​ ​I ​的话，​最坏​情况​下​中间​会​夹 ​12​ 个。
• S ​和​ Z ​最​多​连续​ 4​ 个。
• 开局​的​ 10 ​个​约​有​ 106 万​种，​可以​全部​数​出来。