Contando el 7-bag: ¿cuánto tarda en volver la misma pieza?
Columna que pone números al límite de la suerte en el 7-bag: repeticiones, cuánto tarda en volver una pieza, racha máxima de S y Z y las 10 primeras piezas.
El 7-bag es un mecanismo muy simple: “meter los 7 tipos de pieza en una bolsa y sacarlos de uno en uno”. Pero si te pones a contar, verás que esas sensaciones que tienes al jugar, como “la I no llega” o “solo me salen S y Z”, tienen un límite y una probabilidad bien definidos. En esta columna reúno los números del 7-bag que las lecciones no tocaron, sin salir de lo que puedes comprobar con una calculadora.
El contenido de la bolsa: 5040 órdenes posibles
7 piezas se pueden ordenar de 7 × 6 × 5 × 4 × 3 × 2 × 1 = 5040 maneras, y todas tienen la misma probabilidad. La probabilidad de que la primera pieza sea la I es de 1 de cada 7; la de que sea la S, la Z o la O es de 3 de cada 7 (aprox. 43 %). Por eso las aperturas tienen tantas ramas del tipo “si la primera pieza es S, Z u O, se usa otra forma”: es un caso demasiado frecuente para ignorarlo.
La misma pieza dos veces seguidas: 1 de cada 49
En una bolsa solo hay una pieza de cada tipo, así que la misma pieza solo puede salir dos veces seguidas en el cambio de bolsa. La probabilidad de que la última pieza de una bolsa y la primera de la siguiente sean la misma es de 1 de cada 7.
El cambio de bolsa solo llega una vez cada 7 piezas, así que, en un momento cualquiera, la probabilidad de que la siguiente pieza sea otra vez la misma es 1/7 × 1/7 = 1/49, aprox. un 2 %. Con un azar total eso pasaría 1 de cada 7 veces (aprox. 14 %), así que en el 7-bag la repetición es algo bastante raro. Y la misma pieza nunca sale tres veces seguidas.
¿Cuánto tarda en volver la misma pieza?
Contemos cuántas piezas pasan desde que sale una pieza hasta que vuelve a salir la misma. Si vuelve justo a continuación, es “1 pieza después”; lo más lejos posible es “13 piezas después”. Su posición en la bolsa anterior y su posición en la bolsa siguiente tienen, cada una, 7 posibilidades igual de probables; si cuentas los 49 casos, sale la tabla siguiente.
| Cuántas piezas después vuelve | Probabilidad |
|---|---|
| 1 pieza después (seguida) | 1/49 (aprox. 2 %) |
| 4 piezas después | 4/49 (aprox. 8 %) |
| 7 piezas después | 7/49 (aprox. 14 %) |
| 10 piezas después | 4/49 (aprox. 8 %) |
| 13 piezas después (el máximo) | 1/49 (aprox. 2 %) |
La probabilidad dibuja una montaña con la cima en 7 piezas después. Por cada pieza que te alejas de la cima baja 1/49, y la media es exactamente 7 piezas después. Detrás del hecho evidente de que “la I sale, de media, una vez cada 7 piezas”, el intervalo real varía entre 1 y 13 piezas.
Cuando abres un pozo y esperas la I para hacer un Cuádruple, en el peor caso se cuelan 12 piezas entre medias. ¿Puedes apilar esas 12 piezas, es decir, 48 celdas, sin huecos en las 9 columnas que no son el pozo? La decisión de esperar la I depende de si la altura de tu tablero puede aguantar ese peor caso.
Comparación con el azar total
¿Qué pasaría si cada pieza se eligiera de forma independiente, con una probabilidad de 1 de cada 7?
| Suceso | Azar total | 7-bag |
|---|---|---|
| Las 7 piezas siguientes son los 7 tipos | Aprox. 0,6 % | 100 % desde el inicio de una bolsa |
| 13 piezas seguidas sin que llegue la I | Aprox. 13 % | 0 % |
| La misma pieza dos veces seguidas | Aprox. 14 % | Aprox. 2 % |
| La misma pieza tres veces seguidas | Aprox. 2 % | 0 % |
Con un azar total, más o menos 1 de cada 7 veces esperarías 13 piezas y la I seguiría sin llegar. Así, la táctica de abrir un pozo y esperar no se sostendría. Se puede decir que el 7-bag, al poner un límite a los vaivenes de la suerte, hace de esto un juego en el que tiene sentido planificar.
S y Z seguidas: 4 como máximo
En el apilado plano, lo molesto es que la S y la Z lleguen una detrás de otra. En el 7-bag eso también tiene un límite. En cada bolsa hay una S y una Z, así que pueden encadenarse 4 piezas como mucho: cuando las 2 últimas piezas de una bolsa son la S y la Z y, además, las 2 primeras de la bolsa siguiente también son la S y la Z.
La probabilidad de que las 2 últimas piezas de una bolsa sean la S y la Z es de 1 de cada 21, y la de que las 2 primeras de la bolsa siguiente sean la S y la Z también es de 1 de cada 21, así que la probabilidad de que este peor orden se dé en un cambio de bolsa concreto es de 1 de cada 441. Casi nunca ocurre, pero conocer lo peor que puede pasar te da una referencia: “si dejo sitio para colocar 2 piezas S o Z, casi nunca tendré problemas”.
Las 10 primeras piezas: alrededor de 1,06 millones de órdenes
El PC de apertura se decide con las 10 primeras piezas. Las 7 piezas de la primera bolsa dan 5040 órdenes y las 3 primeras de la segunda bolsa, 7 × 6 × 5 = 210, así que en total son 5040 × 210 = 1.058.400 órdenes.
Parece mucho, pero para un ordenador es una cantidad que se puede revisar entera. Cifras como “si se comprueban todos los órdenes, aprox. 85 %”, que aparecen en las lecciones de este sitio, salen de contar así, caso por caso. El 7-bag no solo es “fácil de leer” para las personas: también lo es para el cálculo.
Resumen
- La misma pieza solo sale dos veces seguidas en el cambio de bolsa, con una probabilidad de aprox. 2 %. Nunca sale tres veces seguidas.
- El intervalo entre dos apariciones de la misma pieza va de 1 a 13 piezas, con una media de 7. Si esperas la I, en el peor caso se cuelan 12 piezas entre medias.
- Como máximo llegan 4 piezas S y Z seguidas.
- Las 10 primeras piezas tienen alrededor de 1,06 millones de órdenes, y se pueden contar todos.